已知抛物线C1：y2=4ax（a＞0），椭圆C以原点为中心，以抛物线C1

问题解答题

已知抛物线C₁：y²=4ax（a＞0），椭圆C以原点为中心，以抛物线C₁的焦点为右焦点，且长轴与短轴之比为

，过抛物线C₁的焦点F作倾斜角为

的直线l，交椭圆C于一点P（点P在x轴上方），交抛物线C₁于一点Q（点Q在x轴下方）．
（1）求点P和Q的坐标；
（2）将点Q沿直线l向上移动到点Q′，使|QQ′|=4a，求过P和Q′且中心在原点，对称轴是坐标轴的双曲线的方程．

答案

（1）由题意可知F（a，0），设椭圆方程为

=1（m＞n＞0）．

由

，m²-n²=a²，

解得m²=2a²，n²=a²，

∴椭圆方程为

2a2

=1，直线l：y=x-a．

可求出P（

a，

a）．

y=x-a，

可求出Q（（3-2

）a，（2-2

）a．

（2）将Q点沿直线l向上移动到Q′点，

使|QQ′|=4a，则可求出Q′点的坐标为（3a，2a）．

设双曲线方程为

=1（s•r＞0）．

由于P、Q′在双曲线上，则有

(3a)2

(2a)2

=1，

(

a)2

(

a)2

=1．

解得

11a2

，

11a2

．

∴双曲线方程为

11a2

x²-

11a2

y²=1．