问题
解答题
已知双曲线的中心在原点O，其中一条准线方程为x=
（1）求此双曲线的标准方程； （2）（普通中学学生做）设直线L：y=kx+3与双曲线交于A、B两点，试问：是否存在实数k，使得以弦AB为直径的圆过点O？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由． （重点中学学生做）设直线L：y=kx+3与双曲线交于A、B两点，C是直线L1：y=mx+6上任一点（A、B、C三点不共线）试问：是否存在实数k，使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由． |
答案
（1）由已知得：c2=12，
=a2 c
，则a2=3，b2=9，3 2
因此所求双曲线的标准方程为
-x2 3
=1．---（4分）y2 9
（2）（普通中学学生做）
将y=kx+3代入
-x2 3
=1得（3-k2）x2-6kx-18=0，y2 9
则由3-k2≠0，△=216-36k2＞0得：-
＜k＜6
，k≠±6
，---（7分）3
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个根，
由题意知：OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0，---（9分）
又y1=kx1+3，y2=kx2+3，
则x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+3k(x1+x2)+9=
=0，即k=±1满足条件．---（12分）9k2-9 k2-3
（重点中学学生做）
将y=kx+3代入
-x2 3
=1得（3-k2）x2-6kx-18=0，y2 9
则由3-k2≠0，△=216-36k2＞0得：-
＜k＜6
，k≠±6
，---（7分）3
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个根，
由题意知：A、B两点关于直线L1对称，---（9分）
则AB的中点D的坐标为(
，3k 3-k2
)，9 3-k2
并满足直线L1的方程y=-
x+6，则k=±1满足条件．---（12分）1 k