（1）：（1）a=1，f（x）=x²-|x|+1=

x2+x+1，   x＜0 x2-x+1，    x≥0

∴f（x）的单增区间为：(-

1

2

，0)，(

1

2

，+∞)（5分）

（2）当x∈[1，2]时，f（x）=ax²-x+2a-1

若a=0，则f（x）=-x-1在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=-3．

若a≠0，则f（x）=a（x-

1

2a

）2+2a-

1

4a

-1，f（x）图象的对称轴是直线x=

1

2a

当a＜0时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a-3．

当0＜

1

2a

＜1，即a＞

1

2

时，f（x）在区间[1，2]上是增函数，g（a）=f（1）=3a-2．

当1＜

1

2a

＜2，即

1

4

≤a≤

1

2

时，g（a）=f（

1

2a

）=2a-

1

4a

-1

当2＜

1

2a

，即0＜a＜

1

4

时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a-3．

综上得g（a）=

6a-3，   0＜a＜ 1 4    2a- 1 4a -1， 1 4 ≤a≤ 1 2 3a-2，  a＞ 1 2

．