（I）设抛物线C的方程为：y²=2px，

抛物线C经过点M（1，2）则2²=2p×1

∴抛物线C的方程为：y²=4x其焦点为F₂（1，0）

故可设椭圆C′的焦点为F₁（1，0）和F₂（1，0），

2a=|MF₁|+|MF₃|=2

2

+2

∴b²=（

2

+1）²-1²=2+2

2

∴椭圆C′的方程为：

x2

3+2 2

+

y2

2+2 2

=1（3分）

（II）设A（2pt²，2pt）则AP的中点Q（pt²+

3

2

，pt），

以AP为直径的圆的半径为r

r²=（pt²-

3

2

）²+（pt）²，

设Q（pt²+

3

2

，pt）到直线l′：x=2的距离为d

则d=|pt²+

3

2

-2|=|pt²-

1

2

|

设直线l′：x=2被以AP为直径的圆截得的弦为MN，则：

(

|MN|

2

)2=r²-d²=（pt²-

3

2

）²+（pt）²-（pt²-

1

2

）²=（p²-2p）t²+2

由于|MN|为定值，所以p²-2p=0所以p=2

∴抛物线C的方程为：y²=4x（8分）

（III）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

利用导数法或判别式法可求得AE，BE的方程分别为

AE：y1y=2（x₁+x），BE：y₂y=2（x₂+x）若E（x₀，y₀）则

y₁y₀=2（x₁+x₀），y₂y₀=2（x₂+x₀）故AB：y₀y=2（x₀+x）

又因为AB过点P（3，0），所以y₀×0=2（x₀+3）所以x₀=-3

即E的轨迹为D的方程为x=-3，交AB：y₀y=2（x₀+x）于点F（-3，-

12

y0

）

|EF|=|y₀-（-

12

y0

）|=|y₀+

12

y0

|≥2

y0• 12 y0

=4

3

；

当且仅当y₀=

12

y0

即y₀=±2

3

时取等号；

所以|EF|的最小值为4

3

．（13分）