问题 解答题

已知二次函数f(x)=x2+bx+c(b、c∈R),不论α、β为何实数,恒有f(sinα)≥0,f(2+cosβ)≤0.

(1)求证:b+c=-1;

(2)求证:c≥3;

(3)若函数f(sinα)的最大值为8,求b、c的值.

答案

(1)证明:∵|sinα|≤1且f(sinα)≥0恒成立,可得f(1)≥0.

又∵1≤2+cosβ≤3且f(2+cosβ)≤0恒成立,可得f(1)≤0,

∴f(1)=0,

∴1+b+c=0,∴b+c=-1.

(2)证明:∵b+c=-1,∴b=-1-c,

∴f(x)=x2-(1+c)x+c=(x-1)(x-c).

又∵1≤2+cosβ≤3且f(2+cosβ)≤0恒成立

∴x-c≤0,即c≥x恒成立.

∴c≥3.

(3)∵f(sinα)=sin2α-(1+c)sinα+c=(sinα-

1+c
2
2+c-(
1+c
2
2

1+c
2
≥2

∴当sinα=-1时,f(sinα)的最大值为1-b+c.

由1-b+c=8与b+c=-1联立,

可得b=-4,c=3.

即b=-4,c=3.

名词解释
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