问题
解答题
数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项的和为Tn，{bn}为等差数列且各项均为正数，a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N+），b1+b2+b3=
15．
（1）求证：数列{an}是等比数列；
（2）若a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求Tn．
答案
（1）当n≥2时，an+1-an=（2Sn+1）-（2Sn-1+1）=2an．
∴an+1=3an，即
=3 …4分an+1 an
又 a2=2S1+1=3=3a1 …2分
∴{an}是公比为3的等比数列 …8分
（2）由（1）得：an=3n-1 …9分
设{bn}的公差为d（d＞0），∵T3=15，∴b2=5 …11分
依题意a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，有（a2+b2）2=（a1+b1）（a3+b3），
∴64=（5-d+1）（5+d+9）
d2+8d-20=0，得d=2，或d=-10（舍去） …14分
故Tn=3n+
×2=n2+2n …16分．n(n-1) 2