问题
解答题
已知曲线C上任意一点M到点F（1，0）的距离比它到直线x=-2的距离小1．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）直线l：y=-x+b与曲线C相交于A，B两点，P（1，2），设直线PA、PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．
答案
（Ⅰ）由题意，M到F（1，0）距离等于它到直线x=-1的距离，由抛物线定义，知C为抛物线，F（1，0）为焦点，x=-1为准线，所以C的方程为y2=4x．…（4分）
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）
联立
⇒x2-(2b+4)x+b2=0y=-x+b y2=4x
∴x1+x2=2b+4，x1x2=b2…（6分）
k1+k2=
+y1-2 x1-1
=y2-2 x2-1 (y1-2)(x2-1)+(y2-2)(x1-1) (x1-1)(x2-1)
=y1x2-y1-2x2+2+y2x1-y2-2x1+2 (x1-1)(x2-1)
=y1x2+y2x1-(y1+y2)-2(x1+x2)+4 (x1-1)(x2-1)
=x2(-x1+b)+x1(-x2+b)-(-x1+b-x2+b)-2(x1+x2)+4 (x1-1)(x2-1)
=-2x1x2+(b-1)(x1+x2)+4-2b (x1-1)(x2-1)
=
=0…（10分）-2b2+(b-1)(2b+4)+4-2b (x1-1)(x2-1)
所以k1+k2为定值．…（12分）