问题
解答题
已知椭圆C以双曲线
（1）求椭圆C的方程； （2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于点M，N两点（M，N不是左右顶点），且以线段MN为直径的圆过椭圆C左顶点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标． |
答案
（1）由双曲线
-y2=1，得c2=3+1=4，∴其焦点为（-2，0），（2，0）．顶点为（-x2 3
，0），（3
，0）．3
则所求椭圆的半长轴a=2，半焦距c=
，b2=a2-c2=4-3=1．3
∴椭圆C的方程为：
+y2=1；x2 4
（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），
联立方程组
⇒(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0，y=kx+m
+y2=1x2 4
得
．x1+x2= -8km 1+4k2 x1x2= 4m2-4 1+4k2
∵以MN为直径的圆过点A（-2，0），∴
•AM
=0，AN
即x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2=0，整理得5m2-16km+12k2=0，
∴m=
k或m=2k，满足△＞0，6 5
若m=2k，则直线l恒过定点A（-2，0），不合题意；
若m=
k，则直线l恒过定点(-6 5
，0)．6 5
∴则直线l恒过定点(-
，0)．6 5