已知C1：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为33，直线l：x-y=0

问题解答题

已知C1：

=1(a＞b＞0)的离心率为

，直线l：x-y=0与以原点为圆心，以椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切，曲线C₂以x轴为对称轴．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，曲线C₂上任意一点M到l₁距离与MF₂相等，求曲线C₂的方程．
（3）若A（x₁，2），C（x₀，y₀），是C₂上不同的点，且AB⊥BC，求y₀的取值范围．

答案

（1）e=

，

∴e2=

a2-b2

，

∴2a²=3b²

∵直线l：x-y+2=0与圆x²+y²=b²相切，

∴

=b，

∴b=

，b²=2，

∴a²=3．

∴椭圆C₁的方程是

=1.

（2）∵|MP|=|MF₂|，

∴动点M到定直线l₁：x=-1的距离等于它的定点F₂（1，0）的距离

∴动点M的轨迹是以l₁为准线，F₂为焦点的抛物线，

∴

=1，p=2，

∴点M的轨迹C₂的方程为y²=4x．

（3）由（1）知A（1，2），B(

，y2)，C(

，y0)，y0≠2，y0≠y2，y₂≠2，①则

-4

，y2-2)，

，y0-y2)，

又因为AB⊥BC，所以

•

=0，

-4

+(y2-2)(y0-y2)=0，

整理得y₂²+（y₀+2）y₂+16+2y₀=0，则此方程有解，

∴△=（y₀+2）²-4•（16+2y₀）≥0解得y₀≤-6或y₀≥10，又检验条件①：

∵y₂=2时y₀=-6，不符合题意．

∴点C的纵坐标y₀的取值范围是（-∞，-6）∪[10，+∞）．