问题 填空题

已知直线l:y=2x-1与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A、B两点,若抛物线上存在点M,使△MAB的重心恰好是抛物线C的焦点F,则p=______.

答案

设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),F(

p
2
,0)

联立方程

y=2x-1
y2=2px
整理可得,4x2-2(p+2)x+1=0

x1+x2=

p+2
2
,y1+y2=2(x1+x2)-2=p

由三角形的重心坐标公式可得,

p
2
=
x1+x2+x3
3
0=
y1+y2+y3
3

x3= p-1
y3=-p
,代入抛物线的方程可得(-p)2=2p(p-1)

∴p=2

故答案为:2

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