问题
填空题
已知直线l:y=2x-1与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A、B两点,若抛物线上存在点M,使△MAB的重心恰好是抛物线C的焦点F,则p=______.
答案
设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),F(
,0)p 2
联立方程
整理可得,4x2-2(p+2)x+1=0y=2x-1 y2=2px
∴x1+x2=
,y1+y2=2(x1+x2)-2=pp+2 2
由三角形的重心坐标公式可得,
=p 2 x1+x2+x3 3 0= y1+y2+y3 3
∴
,代入抛物线的方程可得(-p)2=2p(p-1)x3= p-1 y3=-p
∴p=2
故答案为:2