在平面直角坐标系xOy中，点P（0，-1），点A在x轴上，点B在y轴非

问题解答题

在平面直角坐标系xOy中，点P（0，-1），点A在x轴上，点B在y轴非负半轴上，点M满足：

，

•

=0
（Ⅰ）当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设Q为曲线C上一点，直线l过点Q且与曲线C在点Q处的切线垂直，l与C的另一个交点为R，若以线段QR为直径的圆经巡原点，求直线l的方程．

答案

（Ⅰ）设A坐标是（a，0），M坐标是（x，y），B（0，b），则

=（x-a，y），

=（-a，b），

=（a，1）

∵

，∴有（x-a，y）=2（-a，b），即有x-a=-2a，y=2b，即x=-a，y=2b

∵

•

=0，∴有a（x-a）+y=0

∴-x（x+x）+y=0，∴-2x²+y=0

即C的方程是y=2x²；

（Ⅱ）设Q（m，2m²），直线l的斜率为k，则y′=4x，∴k=-

∴直线l的方程为y-2m²=-

（x-m）

与y=2x²联立，消去y可得2x²+

x-2m²-

=0，该方程必有两根m与x_R，且mx_R=-m²-

∴（2m²）y_R=4（-m²-

）^{2
∵
OQ
⊥
OR
，∴mx_R+（2m²）y_R=0，∴-m²-1
8+4（-m²-1
8）²=0，∴m=±
2
4
∴直线l的方程为y=±
2
2
x+1
2
．}