已知函数f（x）是一次函数，且f（8）=15f（2），f（5）f（14）成

问题解答题

已知函数f（x）是一次函数，且f（8）=15f（2），f（5）f（14）成等比数列，设a_n=f（n），（n∈N^*）

（1）求T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n．

（2）设b_n=2ⁿ，求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

答案

（1）设f（x）=ax+b，（a≠0）由f（8）=15f（2），f（5），f（14）成等比数列得

8a+b=15，f²（5）=f（2）•f（14）得（5a+b）²=（2a+b）（14a+b）得到：3a²+6ab=0

∵a≠0∴a=-2b由①②得a=2，b=-1，∴f（x）=2x-1

∴a_n=2n-1，显然数列{a_n}是首项a₁=1，公差d=2的等差数列

∴

i=1

ai═a1+a2+…+an=

n(1+2n-1)

=n2．

（2）∵a_nb_n=（2n-1）•2ⁿ∴s_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ

2s_n=2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）2ⁿ⁺¹

-s_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=2+2³•（2^n-1-1）-（2n-1）2ⁿ⁺¹

∴s_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6