问题
解答题
已知圆心为F1的圆的方程为（x+2）2+y2=32，F2（2，0），C是圆F1上的动点，F2C的垂直平分线交F1C于M．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）设N（0，2），过点P（-1，-2）作直线l，交M的轨迹于不同于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1+k2为定值．
答案
（1）∵F2C的垂直平分线交F1C于M，
∴|MF1|=|MC|．
∵|F1C|=4
，2
∴|MF1|+|MC|=4
，2
∴|MF1|+|MF2|=4
，2
∴点M的轨迹是以F1、F2为焦点，以4
为长轴长的椭圆．2
由c=2，a=2
，得b2=a2-c2=8-4=4．2
故曲线C的方程为
+x2 8
=1；y2 4
（2）证明：当直线l的斜率存在时，设其方程为y+2=k（x+1），
与椭圆方程联立，可得（1+2k2）x2+4k（k-2）x+2k2-8k=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=-
，x1x2=4k(k-2) 1+2k2
．2k2-8k 1+2k2
从而kl+k2=
+y1-2 x1
=2k-（k-4）•y2-2 x2
=4．4k(k-2) 2k2-8k
当直线l的斜率不存在时，得A（-1，
），B（-1，-14 2
），14 2
得kl+k2═4．
综上，恒有kl+k2=4，为定值．