问题
解答题
设数列{an}满足：a1=1，an+1=
（1）求a2，a3； （2）令bn=
（3）已知f（n）=6an+1-3an，求证：f(1)•f(2)…f(n)＞
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答案
（1）∵数列{an}满足：a1=1，an+1=
(1+4an+1 16
)(n∈N*)，1+24an
∴a2=
(1+4a1+1 16
)=1+24a1
，5 8
a3=
(1+4a2+1 16
)=1+24a2
(1+4×1 16
+5 8
)=1+24× 5 8
．15 32
（2）∵bn=
，∴an= 1+24an
，代入 an+1=bn2-1 24
(1+4an+1 16
)(n∈N*) 得 1+24an
=bn+12-1 24
(1+4× 1 16
+ bn)，化简可得 4bn+12=(bn+3)2，即 2bn+1=bn+3．bn2-1 24
∴2（bn+1-3）=bn-3，∴{bn-3}是以2为首项，以
为公比的等比数列，1 2
∴bn-3=2(
)n-1，∴bn=(1 2
)n-2+3．1 2
（3）证明：∵已知 an=
=bn2-1 24
=(
)n-2+9 + 6×(1 4
)n-2-11 2 24
×(2 3
)n+(1 4
)n+1 2
，1 3
故 f（n）=6an+1-3an =6[
×(2 3
)n+1+(1 4
)n+1+1 2
]-3（1 3
×(2 3
)n+(1 4
)n+1 2
）=1-1 3 1 4n
=（1-
）（1+1 2n
）．1 2n
当n≥2时，有(1+
)•(1-1 2n-1
)=1-1 2n
+1 2n
-1 2n-1
=1+1 22n-1
＞1．2n-1-1 22n-1
∴f（1）•f（2）…•f（n）=（1-
）（1+1 2
）•（1-1 2
）（1+1 4
）…（1-1 4
）（1+1 2n
）1 2n
＞（1-
）（1+1 2
）=1 2n
+1 2
＞1 2n+1
．1 2
故要证的不等式 f(1)•f(2)…f(n)＞
成立．1 2