问题
解答题
设椭圆T：
（1）求椭圆T的方程； （2）直线l绕着F1旋转，与圆O：x2+y2=5交于A、B两点，若|AB|∈（4，
|
答案
（1）由题意可将x=-c代入椭圆方程可得，
+c2 a2
=1y2 b2
∵c=a2-b2
∴
+a2-b2 a2
=1即y=±y2 b2 b2 a
∴|PQ|=
=2b2 a
①4 3
由已知可得
b• 2c=1 2
②2
①②联立可得a2=3，b2=2
∴椭圆的方程为
+x2 3
=1y2 2
（2）设直线L：x=my-1即x-my+1=0，圆心O到直线L的距离d=1 1+m2
由圆的性质可知AB=2
=2r2-d2 5- 1 1+m2
又AB∈[4，
]，则4≤219
≤5- 1 1+m2 19
∴m2≤3
联立方程组
消去x可得（2m2+3）y2-4my-4=0x=my-1
+x2 3
=1y2 2
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=
，y1y2=4m 3+2m2 -4 2m2+3
S=
|F1F2||y1-y2|=1 2
=(y1+y2)2-4y1y2 (
)2+4m 3+2m2 16 3+2m2
=
=48(1+m2) (2m2+3)2
（令t=m2+1∈[1，4]）48 4t+
+41 t
设f（t）=4t+
（t∈[1，4]）1 t
则f′(t)=4-
＞0对一切t∈[1，4]恒成立1 t2
∴f（t）=4t+
在[1，4]上单调递增，4t+1 t
∈[5，1 t
]65 4
∴S∈[
，8 3 9
]4 3 3