问题 解答题

求二次函数f(x)=x2-2ax+2在[2,4]上的最大值与最小值.

答案

∵f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2,对称轴是x=a,

当a<2时,f(x)=x2-2ax+2在[2,4]上是增函数,故最大值f(4)=18-8a,最小值f(2)=6-4a

当a>4时,f(x)=x2-2ax+2在[2,4]上是减函数,故最大值f(2)=6-4a,最小值f(4)=18-8a

当2≤a≤4时,f(x)=x2-2ax+2在[2,4]上先减后增,最小值f(a)=2-a2

①2≤a<3,最大值f(4)=18-8a,

②3≤a≤4,最大值f(2)=6-4a,

综上得,二次函数f(x)=x2-2ax+2在[2,4]上的最大值f(a)=

18-8aa<3
6-4aa≥3

最小值f(a)=

6-4aa<2
2-a22≤a≤4
18-8aa>4

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