问题
解答题
| 已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn+2n=2an （1）证明：数列{an+2}是等比数列．并求数列{an}的通项公式an； （2）若数列{bn}满足bn=log2（an+2），设Tn是数列{
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答案
证明：（1）由Sn+2n=2an得 Sn=2an-2n
当n∈N*时，Sn=2an-2n，①
当n=1 时，S1=2a1-2，则a1=2，
则当n≥2，n∈N*时，Sn-1=2an-1-2（n-1）．②
①-②，得an=2an-2an-1-2，
即an=2an-1+2，
∴an+2=2（an-1+2）
∴
=2，an+2 an-1+2
∴{an+2}是以a1+2为首项，以2为公比的等比数列．
∴an+2=4•2n-1，
∴an=2n+1-2．
（2）证明：由bn=log2（an+2）=log22n+1=n+1，
得
=bn an+2
，n+1 2n+1
则Tn=
+2 22
+…+3 23
，③n+1 2n+1
Tn=1 2
+2 23
+…+3 24
+n 2n+1
④n+1 2n+2
③-④，得
Tn=1 2
+2 22
+1 23
+…+1 24
-1 2n+1 n+1 2n+2
=
+1 4
-
(1-1 4
)1 2 n 1- 1 2 n+1 2n+2
=
+1 4
-1 2
-1 2 n+1 n+1 2n+2
=
-3 4
，n+3 2n+2
所以 Tn=
-3 2
＜n+3 2n+1
．3 2