问题
解答题
已知函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上有两点A1（m1，y1），A2（m2，y2），满足a2+（y1+y2）a+y1•y2=0．
求证：
（1）存在i∈{1，2}，使yi=-a；
（2）抛物线y=ax2+bx+c与x轴总有两个不同的交点；
（3）若使该图象与x轴交点为（x1，0）（x2，0），（x1＜x2），则存在i∈{1，2}，使x1＜mi＜x2．
答案
证明：（1）由a2+（y1+y2）a+y1y2=0，
有（y1+a）（y2+a）=0．（2分）
∴y1=-a或y2=-a，
即存在i∈{1，2}，使得yi=-a．（4分）
（2）由（1）知存在i∈{1，2}，使得yi=-a，
则有-a=ax2+bx+c，
即ax2+bx+a+c=0，
由△=b2-4a（a+c）≥0．
∴b2-4ac≥4a2＞0．∴b2-4ac＞0．
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴总有两个不同的交点．（8分）
（3）方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1、x2，x1+x2=-
，x1x2=b a
．（10分）c a
∴（mi-x1）（mi-x2）
=mi2-（x1+x2）mi+x1x2
=mi2+
mi+b a c a
=
（ami2+bmi+c）1 a
=
yi，1 a
由（1）可知
yi=-1＜0，1 a
∴x1＜mi＜x2．（14分）．