问题
解答题
已知椭圆E：
M（2，1），又椭圆E上存在A、B两点关于直线l：y=x+m对称． （Ⅰ）求椭圆E的方程， （Ⅱ）求实数m的取值范围， （Ⅲ）设点P在直线l上，若∠APB=
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答案
（Ⅰ）∵
=c a
且2 2
+4 a2
=11 b2
∴a=
，b=6 3
∴椭圆E得方程为：
+x2 6
=1y2 3
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=-x+n，设A（x1，y1）B（x2，y2）
由
得3x2-4nx+2n2-6=0x2+2y2-6=0 y=-x+n
∵△＞0∴-3＜n＜3
∵
设A．B的中点C（x0，y0），x1+x2= 2n 3 x1x2= 2n2-6 3
则
点C在ly=-x+n上x0= n 3 y0= 2n 3
∴n=3m即-3＜3m＜3得-1＜m＜1
（Ⅲ）依题意得：△APB是等腰三角形，∠APB=2π 3
∴S△APB=
|AB|•(1 2
)=|AB| 2 3
|AB|23 12
∵|AB|=
|x1-x2|=2 4 3 9-n2
∴|AB|2=
(9-n2)16 9
∴当n=0时，S△APB取最大值4 3 3