已知点M（-5，0），F（1，0），点K满足MK=2KF，P是平面内一动点，且满

问题解答题

已知点M（-5，0），F（1，0），点K满足

，P是平面内一动点，且满足|

|•|

•

．
（1）求P点的轨迹C的方程；
（2）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l₁，l₂，设l₁与曲线C相交于点A，B，l₂与曲线C相交于点D，E，求四边形ADBE的面积的最小值．

答案

（1）设K（x₀，y₀），P（x，y）

∵M（-5，0），F（1，0），

，

∴（x₀+5，y₀）=2（1-x₀，-y₀）

∴x₀=-1，y₀=0，∴K（-1，0）

∵|

|•|

•

，

∴2

(x-1)2+y2

=（-1-x₀，-y₀）•（-2，0）

∴

(x-1)2+y2

=1+x，即y²=4x；

（2）设l₁的方程为x=ny+1（n≠0），与y²=4x联立，消去x可得y²-4ny-4=0

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=4n，y₁y₂=-4

∴|AB|=

1+n2

|y1-y2|=4（n²+1）

∵l₁⊥l₂，∴l₂的方程为x=-

y+1，与y²=4x联立，

同理可得|DE|=4（

+1）

∴四边形ADBE的面积为

|AB||DE|=8（n²+1）（

+1）=8（n²+

+2）≥32

当且仅当n²=

，即n=±1时，四边形ADBE的面积的最小值为32．