问题
解答题
已知向量
（1）求
（2）求证|
（3）求函数f(x)=
|
答案
（1）∵
•a
=sinx•cosx+sinx•cosx=2sinx•cosx=sin2x （2′）b
∵x∈[0，
]，π 2
∴2x∈[0，π]
∴
•a
∈[0，1]（4′）b
（2）证明：∵
+a
=（cos+sinx，sinx+cosx）b
∴|
+a
|=b
（6'）2(cosx+sinx)2
=
=2|sin(x+2[
sin(x+2
)]2π 4
)|π 4
∵x∈[0，
]，π 2
∴x+
∈[π 4
，π 4
]，3π 4
∴sin（x+
）＞0，π 4
∴2|sin(x+
)|=2sin（x+π 4
），π 4
∴|
+a
|=2sin（x+b
）．（8'）π 4
（3）∵x∈[0，
]，π 2
∴x+
∈[π 4
，π 4
]3π 4
∴f（x）=
•a
-b
|2
+a
|b
=sin2x-2
sin(x+2
)π 4
=2sinxcosx-2（sinx+cosx）（9'）
解法1：令t=sinx+cosx
∴sinx•cosx=
(1≤t≤t2-1 2
）2
∴y=t2-1-2t（10'）
=（t-1）2-2
∴y∈[-2，1-2
]（12'）2
解法2：f（x）=sin2x-2
sin(x+2
)（9'）π 4
=-cos[2(x+
)]-2π 4
sin(x+2
)π 4
=2sin2(x+
)-2π 4
sin(x+2
)-1（10'）π 4
∵
≤sin(x+2 2
)≤1π 4
∴f（x）∈[-2，1-2
]（12'）2