问题
解答题
已知Sn为数列an的前n项和，且2an=Sn+n．
（I）若bn=an+1，证明：数列bn是等比数列；
（II）求数列Sn的前n项和Tn．
答案
（I）n=1时，2a1=S1+1，
∴a1=1．
由题意得2an=Sn+n，2an+1=Sn+1+（n+1），
两式相减得2an+1-2an=an+1+1
即an+1=2an+1．
于是an+1+1=2（an+1），
即bn+1=2bn，
又b1=a1+1=2．
所以数列bn是首项为2，公比为2的等比数列．
（II）由（I）知，bn=2×2n-1=2n，an=bn-1=2n-1，
由2an=Sn+n，得Sn=2n+1-n-2，
∴Tn=（22+23++2n+1）-（1+2+3++n）-2n
=
| 22•(1-2n) |
| 1-2 |
| n(n+1) |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |