已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的中心、上顶点、右焦点构成面积为1的

问题解答题

已知椭圆

=1(a＞b＞0)的中心、上顶点、右焦点构成面积为1的等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若A、B分别是椭圆的左、右顶点，点M满足MB⊥AB，连接AM，交椭圆于P点，试问：在x轴上是否存在异于点A的定点C，使得以MP为直径的圆恒过直线BP、MC的交点，若存在，求出C点的坐标；若不存在，说明理由．

答案

（1）由题意知

b=c

bc=1

解得b=c=

，从而a=2．

∴椭圆方程为

=1（4分）

（2）A（-2，0），B（2，0），

可设直线AM的方程为y=k（x+2），P（x₁，y₁），MB⊥AB，∴M（2，4k），

直线AM代入椭圆方程x²+2y²=4，

得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-4=0（6分）

∴x1(-2)=

8k2-4

2k2+1

，

∴x₁=

2-4k2

2k2+1

，

∴P（

2-4k2

2k2+1

，

4k2

2k2+1

），

设C（x₀，0），且x₀≠-2，以MP为直径的圆恒过直线BP、MC的交点，则

MC⊥BP，∴

•

=0，即：（2-x₀）

-8k2

2k2+1

+4k

2k2+1

8k2

2k2+1

x 0=0，

∴x₀=0，

故存在异于点A的定点C（0，0），使得以MP为直径的圆恒过直线BP、MC的交点．