过双曲线C：x2-y2m2=1的右顶点A作两条斜率分别为k1、k2的直线AM、A

问题解答题

过双曲线C：x2-

=1的右顶点A作两条斜率分别为k₁、k₂的直线AM、AN交双曲线C于M、N两点，其k₁、k₂满足关系式k_1•k₂=-m²且k₁+k₂≠0，k₁＞k₂
（1）求直线MN的斜率；
（2）当m²=2+

时，若∠MAN=60°，求直线MA、NA的方程．

答案

（1）C：x2-

=1的右顶点A坐标为（1，0）

设MA直线方程为y=k₁（x-1），代入m²x²-y²-m²=0中，整理得（m²-k₁）x²+2k₁²x-（k₁²+m²）=0）

由韦达定理可知xm•xA=

+m2

-m2

，而x_A=1，又k₁k₂=-m²

∴xm=

+m2

-m2

-k1k2

+k1k2

k1-k2

k1+k2

于是ym=k1(xm-1)=k1(

k1-k2

k1+k2

-1)=

-2k1k2

k1+k2

由同理可知yn=

-2k1k2

k1+k2

，于是有y_m=y_n

∴MN∥x抽，从而MN直线率k_MN=0．

（2）∵∠MAN=60°，说明AM到AN的角为60°或AN到AM的角为60°．

则

k2-k1

1+k1k2

或

k1-k2

1+k1k2

，

又k1k2=-(3+

)，k₁＞k₂

从而

k2-k1=-3-

k1k2=-(2+

)

则求得

k1=1

k2=-(2+

)

或

k1=2+

k2=-1

因此MA，NA的直线的方程为y=x-1，y=-(2+

)(x-1)

或为y=(2+

)(x-1)，y=-（x-1）．