问题
解答题
已知函数f(x)=
（1）若不等式f（x）+2x+2＜m在[0，2]内有解，求实数m的取值范围； （2）若函数g(x)=f(x)+a-
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答案
（1）∵f(x)=
t(t-4)dt=(∫ x0
t3-2t2)1 3
=| x0
x3-2x21 3
∴f′（x）=x2-4x
不等式f（x）+2x+2＜m可化为m＞x2-2x+2
∵不等式f（x）+2x+2＜m在[0，2]内有解，
∴m＞（x2-2x+2）min（x∈[0，2]）
∵x2-2x+2=（x-1）2+1，
∴当x∈[0，2]时，（x2-2x+2）min=1
∴m＞1，
∴实数m的取值范围为（1，+∞）
（2）由（1）得g(x)=
x3-2x2+a-1 3
，1 3
∴g′（x）=x2-4x=x（x-4）
则当x∈[0，4]时，g′（x）≤0；当x∈（4，5]时，g′（x）＞0
∴当x=4时，g（x）的最小值为g（4）=a-11
∵函数g（x）在区间[0，5]上没有零点，
∴a-11＞0或g(0)=a-
＜01 3 g(5)=-
+a＜026 3
∴a＞11，或a＜1 3
∴实数a的取值范围为（11，+∞）∪（-∞，
）．1 3