（1）d1•d2=

|-4 2 + 5 |

3

•

|-4 2 - 5 |

3

=9； …（2分）

联立方程

x2 25 + y2 9 =1 2 x-y+ 5 =0

，消去y得关于x的方程：59x 2+50 

10

x-100=0； …（3分）

∴△=(50

10

) 2+4×59×100＞0，因此直线L与椭圆M相交．…（4分）

（2）联立方程组

x2 25 + y2 9 =1 mx+ny+p=0

，消去y可得（a²m²+b²n²）x²+2a²mpx+a²（p²-b²n²）=0…（*）…（6分）

∴△=（2a²mp）²-4a²（a²m²+b²n²）（p²-b²n²）=4a²b²n²（a²m²+b²n²-p²）=0

∴p²=a²m²+b²n²…（8分）

∵椭圆的焦点为：F₁（-c，0），F₂（c，0），其中c²=a²-b²

∴d1•d2=

|-mc+p|

m2+n2

•

|mc+p|

m2+n2

=

|p2-m2c2|

m2 +n2

=

|a 2m2+b 2n 2- m2c2|

m2 +n2

=b2…（10分）

（3）设F₁、F₂是椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点，

点F₁、F₂到直线L：mx+ny+p=0（m、n不同时为零）的距离分别为d₁、d₂，且F₁、F₂在直线L的同侧．

那么直线L与椭圆相交的充要条件为：d₁d₂＜b²；

直线L与椭圆M相切的充要条件为：d₁d₂=b²；

直线L与椭圆M相离的充要条件为：d₁d₂＞b²　…（14分）

证明：由（2）得，直线L与椭圆M相交⇔（*）中△＞0⇔p²＜a²m²+b²n²

⇔d1•d2=

|-mc+p|

m2+n2

•

|mc+p|

m2+n2

=

|p2-m2c2|

m2 +n2

＜

|a 2m2+b 2n 2- m2c2|

m2 +n2

=b2

同理可证：直线L与椭圆M相离⇔d₁d₂＞b²；直线与椭圆相切⇔d₁d₂=b²…（16分）．命题得证．

（写出其他的充要条件仅得（2分），未指出“F₁、F₂在直线L的同侧”得3分）

（4）可以类比到双曲线：设F₁、F₂是双曲线M：

x 2

a 2

-

y 2

b 2

=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，

点F₁、F₂到直线L：mx+ny+p=0（m、n不同时为零）距离分别为d₁、d₂，且F₁、F₂在直线L的同侧．

那么直线L与双曲线相交的充要条件为：d₁d₂＜b²；

直线L与双曲线M相切的充要条件为：d₁d₂=b²；

直线L与双曲线M相离的充要条件为：d₁d₂＞b²．…（20分）