问题
解答题
已知二次函数f（x）满足条件f（0）=0，f（-x+5）=f（x-3），且方程f（x）=x有等根．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在实数m，n，使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]？如果存在，求出m，n的值；如果不存在，说明理由．
答案
（1）∵f（x）是二次函数，设f（x）=ax2+bx+c （a≠0）
∵f（0）=0
∴c=0
∴f（x）=ax2+bx
又∵f（-x+5）=f（x-3）
∴函数f（x）的对称轴为x=1
∴-
=1b 2a
又∵方程f（x）=x，即ax2+（b-1）x=0有等根
∴（b-1）2=0
∴b=1，a=-1 2
∴f(x)=-
x2+x1 2
（2）假设存在实数m，n，使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]
∵f(x)=-
x2+x=-1 2
(x-1)2+1 2
≤1 2 1 2
∴3n≤1 2
∴n≤1 6
又函数f（x）的对称轴为x=1，且开口向下
∴f（x）在[m，n]上单调递增
∴
，即f(m)=3m f(n)=3n -
m2+m=3m1 2 -
n2+n=3n1 2
又m＜n
∴m=-4，n=0
∴存在实数m=-4，n=0满足题意