已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)（1）已知椭圆的长轴是焦距的2倍

问题解答题

已知椭圆C：

=1 (a＞b＞0)
（1）已知椭圆的长轴是焦距的2倍，右焦点坐标为F（1，0），写出椭圆C的方程；
（2）设K是（1）中所的椭圆上的动点，点O是坐标原点，求线段KO的中点B的轨迹方程；
（3）设点P是（1）中椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为k_PM，K_PN试探究k_PM•K_PN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论．

答案

（1）2a=2（2c），（1分）

c=1，（2分）

a²=4b²=3，（3分）

椭圆C的方程为：

=1．（4分）

（2）设KO的中点为B（x，y）则点K（2x，2y），（6分）

把K的坐标代入椭圆

=1中，

得

(2x)2

(2y)2

=1（8分）

线段KF₁的中点B的轨迹方程为x2+

=1．（10分）

（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称

设M（x₀，y₀）N（-x₀，-y₀），p（x，y）（11分）

M，N，P在椭圆上，应满足椭圆方程，

得

x02

y02

=1 ，

=1，（12分）

kPM=

y-y0

x-x0

KPN=

y+y0

x+x0

，（13分）

k_PM•K_PN=

y-y0

x-x0

•

y+y0

x+x0

y2-y02

x2-x02

．（15分）

故：k_PM•K_PN的值与点P的位置无关，同时与直线L无关．（16分）