（1）由题设知c=1，

1

a2

+

1

2b2

=1①，又a²=b²+c²，即a²=b²+1②，

联立①②解得a²=2，b²=1，

所以椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1；

（2）由（1）知，A（-

2

，0），B（

2

，0），F₁（-1，0），F₂（1，0），

设P（x₀，y₀）（x₀≠±1），则

F1P

=（x₀+1，y₀），

F2P

=（x₀-1，y₀），

因为P为以F₁F₂为直径的圆上的动点，所以

F1P

⊥

F2P

，即

F1P

•

F2P

=0，

所以（x₀+1）（x₀-1）+y₀²=x02+y02-1=0，即x02+y02=1，

所以

AP

•

BP

=（x0+

2

，y₀）•（x0-

2

，y₀）═（x0+

2

）•（x0-

2

）+y₀²=x02+y02-2=1-2=-1．

故

AP

•

BP

是定值，为-1．

（3）假设存在满足条件的直线l，设直线l的方程为y=k（x+2），

由

y=k(x+2) x2 2 +y2=1

得（2k²+1）x²+8k²x+8k²-2=0，则△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，即k2＜

1

2

③，

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=

-8k2

2k2+1

，x1x2=

8k2-2

2k2+1

，

由D为弦MN的中点，且|FD|=

1

2

|MN|，得FM⊥FN，即

FM

•

FN

=0，

所以（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=（x₁+1）•（x₂+1）+y₁y₂=x₁x₂+x₁+x₂+1+k²（x₁+1）（x₂+1）=0，即（k²+1）x₁x₂+（2k²+1）（x₁+x₂）+4k²+1=0，

所以（k²+1）•

8k2-2

2k2+1

+（2k²+1）•

-8k2

2k2+1

+4k²+1=0，

解得k2=

1

2

，不满足③式，

故不存在这样的直线l．