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问题 解答题
椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），点A为左顶点，点B为上顶点，直线AB的斜率为
3
2
，又直线y=k（x-1）经过椭圆C的一个焦点且与其相交于点M，N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）将|MN|表示为k的函数；
（Ⅲ）线段MN的垂直平分线与x轴相交于点P，又点Q（1，0），求证：
|PQ|
|MN|
为定值．
答案

（Ⅰ）如图，

∵直线AB的斜率为

3
2
，

∴

b
a
=
3
2
，

又直线y=k（x-1）经过椭圆C的一个焦点，

∴交点F（1，0）．

则

c=1
b
a
=
3
2
a2=b2+c2
，解得a2=4，b2=3．

∴椭圆C的方程为

x2
4
+
y2
3
=1；

（Ⅱ）联立

y=k(x-1)
x2
4
+
y2
3
=1
，得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0．

设M（x1，y1），N（x2，y2），

则x1+x2=

8k2
3+4k2
，x1x2=
4k2-12
3+4k2
．

∴|MN|=

1+k2
(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2
(
8k2
3+4k2
)2-4•
4k2-12
3+4k2
=
12(1+k2)
3+4k2
．

（Ⅲ）证明：线段MN的中点的横坐标为

x1+x2
2
=
4k2
3+4k2
，纵坐标为k•(
4k2
3+4k2
-1)=
-3k
3+4k2
．

∴线段MN的垂直平分线方程为y+

3k
3+4k2
=k(x-
4k2
3+4k2
)，

取y=0，得x=

k2
3+4k2
，

∴P（

k2
3+4k2
，0），

则|PQ|=1-

k2
3+4k2
=
3(1+k2)
3+4k2
．

则

|PQ|
|MN|
=
3(1+k2)
3+4k2
12(1+k2)
3+4k2
=
1
4
为定值．

多项选择题

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多项选择题

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