问题
解答题
已知二次函数f（x）=x2-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（ x1）＞f（ x2）成立．设数列{an}的前n项和 Sn=f（n）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求数列{ an}的通项公式．
答案
（1）∵不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素，
∴△=a2-4a=0，解得a=0或a=4．
当a=0时，函数f（x）=x2在（0，+∞）上递增，不满足条件②；
当a=4时，函数f（x）=x2-4x+4在（0，2）上递减，满足条件②．
综上得a=4，即f（x）=x2-4x+4．
（2）由（1）知Sn=n2-4n+4=（n-2）2，
当n=1时，a1=S1=1；
当n≥2时an=Sn-Sn-1=（n-2）2-（n-3）2=2n-5．
∴an=
．1，n=1 2n-5，n≥2