问题
解答题
（理）设椭圆
（1）求实数m的取值范围； （2）若直线l：y=x+2与椭圆存在一个公共点E，使得|EF1|+|EF2|取得最小值，求此最小值及此时椭圆的方程； （3）是否存在斜率为k（k≠0）的直线l，与条件（Ⅱ）下的椭圆交于A、B两点，使得经过AB的中点Q及N（0，-1）的直线NQ满足
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答案
解（1）依题意：F1F2为直径的圆与椭圆有交点，
∴|OM|=
|F1F2|=(m+1)-1=m≥1．1 2
（2）将y=x+2代入x2+（m+1）y2-m-1=0中
得：（m+2）x2+4（m+1）x+3（m+1）=0，
∴△=16（m+1）2-12（m+2）（m+1）=4（m+1）（m-2）≥0，又m≥1，
∴m≥2．
∴m=2时|EF1|+|EF2|=2
取最小值2m+1
．此时椭圆的方程为3
+y2=1．x2 3
（3）设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线l的方程为y=kx+m，
代入椭圆的方程：x2+3y2-3=0中得：（3k2+1）x2+6kmx+3（m2-1）=0．
∴△=36k2m2+12（1-m2）（3k2+1）=12（3k2+1-m2）＞0，
即3k2+1-m2＞0①
且
=-x1+x2 2
，3km 3k2+1
=k•y1+y2 2
+m=x1+x2 2
．m 3k2+1
即Q(-
，3km 3k2+1
)．m 3k2+1
又
•NQ
=0，AB
∴kNQ=-
，直线NQ的方程为y=-1 k
x-1．1 k
∴
=(-m 3k2+1
)(-1 k
)-1，化简得：m=3km 3k2+1
②3k2+1 2
由①②得：k2＜1，
∴存在适合条件的直线l，其斜率k的取值范围是（-1，0）∪（0，1）．