已知等比数列{an}的各项都为正数，且当n≥3时，a4•a2n-4=102n，则

问题填空题

已知等比数列{a_n}的各项都为正数，且当n≥3时，a4•a2n-4=102n，则数列lga1，2lga2，22lga3，23lga4，…，2n-1lgan，…的前n项和等于______．

答案

∵等比数列{a_n}的各项都为正数，且当n≥3时，a₄•a_2n-4=10²ⁿ，∴a_n²=10²ⁿ，即a_n=10ⁿ，（n∈N^*）；

∴2^n-1•lga_n=2^n-1lg10ⁿ=n•2^n-1；

∴S_n=1+2•2¹+3•2²+…+n•2ⁿ…①，

2S_n=1+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ⁺¹…②，

∴①-②得

-S_n=1+（2¹+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ）

∴-S_n=

1×(1-2n)

1-2

-n×2ⁿ

∴S_n=（n-1）2ⁿ+1，

故答案为：S_n=（n-1）2ⁿ+1．