问题
选择题
若抛物线y2=2px上恒有关于直线x+y-1=0对称的两点A，B，则p的取值范围是（ ）
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答案
设A（x1，y1），B（x2，y2），
因为点A和B在抛物线上，所以有y12=2px1①
y22=2px2②
①-②得，y12-y22=2p(x1-x2)．
整理得
=y1-y2 x1-x2
，2p y1+y2
因为A，B关于直线x+y-1=0对称，所以kAB=1，即
=1．2p y1+y2
所以y1+y2=2p．
设AB的中点为M（x0，y0），则y0=
=y1+y2 2
=p．2p 2
又M在直线x+y-1=0上，所以x0=1-y0=1-p．
则M（1-p，p）．
因为M在抛物线内部，所以y02-2px0＜0．
即p2-2p（1-p）＜0，解得0＜p＜
．2 3
所以p的取值范围是（0，
）．2 3
故选C．