问题
解答题
在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B、C的坐标为B（-2，0），C（2，0），直线AB，AC的斜率乘积为-
（1）求曲线E的方程； （2）设曲线E与y轴负半轴的交点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与曲线E的另一个交点分别为M，N．设l1的斜率为k（k≠0），△DMN的面积为S，试求
|
答案
（1）设顶点A的坐标为（x，y），则kAB=
，kAC=y x+2
，…（2分）y x-2
∵kAB•kAC=-
，1 4
∴
•y x+2
=-y x-2
，1 4
∴
+y2=1．x2 4
∴曲线E的方程为
+y2=1（x≠±2）．…（4分）x2 4
（2）曲线E与y轴负半轴的交点为D（0，-1）．
∵l1的斜率存在，∴设l1的方程为y=kx-1，
代入
+y2=1，得M（x2 4
，8k 1+4k2
），4k2-1 1+4k2
从而DM=
=(
)2+(8k 1+4k2
+1)24k2-1 1+4k2
，…（6分）8|k| 1+k2 1+4k2
用-
代k得DN=1 k
．8 1+k2 4+k2
∴△DMN的面积S=
•1 2
•8|k| 1+k2 1+4k2 8 1+k2 4+k2
=
．…（8分）32(1+k2)|k| (1+4k2)(4+k2)
则
=S |k|
，32(1+k2) (1+4k2)(4+k2)
∵k≠0且k≠±
，k≠±2，令1+k2=t，1 2
则t＞1，且t≠
，t≠5，5 4
从而
=S |k|
=32t (4t-3)(t+3)
=32t 4t2+9t-9
，32 9+4t- 9 t
∵4t-
＞-5，且4t-9 t
≠-9 t
，4t-11 5
≠9 t
．91 5
∴9+4t-
＞4，且9+4t-9 t
≠9 t
，9+4t-34 5
≠9 t
，136 5
从而
＜8，且S |k|
≠S |k|
，80 17
≠S |k|
，20 17
即
∈（0，S |k|
）∪（20 17
，20 17
）∪（80 17
，8）．…（10分）80 17