设定义在区间[x1，x2]上的函数y=f（x）的图象为C，点A、B的坐标

问题解答题

设定义在区间[x₁，x₂]上的函数y=f（x）的图象为C，点A、B的坐标分别为（x₁，f（x₁）），（x₂f（x₂））且M（x，f（x））为图象C上的任意一点，O为坐标原点，当实数λ满足x=λx₁+（1-λ）x₂时，记向量

=λ

+(1-λ)

．若|

|≤k恒成立，则称函数y=f（x）在区间[x₁，x₂]上可在标准k下线性近似，其中k是一个确定的正数．
（Ⅰ）求证：A、B、N三点共线
（Ⅱ）设函数f（x）=x²在区间[0，1]上可的标准k下线性近似，求k的取值范围；
（Ⅲ）求证：函数g（x）=lnx在区间（e^m，e^m+1）（m∈R）上可在标准k=

下线性近似．
（参考数据：e=2.718，ln（e-1）=0.541）

答案

（Ⅰ）由

=λ

+(1-λ)

得

=λ

，∴A、B、N三点共线．

（Ⅱ）由x=λx₁+（1-λ）x₂，

=λ

+(1-λ)

，得 N 和M的横坐标相同．

对于区间[0，1]上的函数f（x）=x²，A（0，0）、B（1，1），则有 |

|=x-x²=-(x-

)2-

，

∴|

|∈[0，

]．

再由|

|≤k恒成立，可得 k≥

．故k的取值范围为[

，+∞）．

（Ⅲ）对定义在区间（e^m，e^m+1）（m∈R）上的函数函数g（x）=lnx，A （e^m，m）、B（e^m+1，m+1）．

AB的方程为y-m=

em+1-em

（x-e^m ），其中x∈[e^m，e^m+1]．

令h（x）=lnx-m-

em+1-em

（x-e^m ），则h′（x）=

em+1-em

．

由于导数h′（x）在x=e^m+1-e^m 处的符号左正右负，故函数h（x）在x=e^m+1-e^m 处取得极大值，

再由x∈[e^m，e^m+1]时，极大值仅此一个，故此极大值是函数h（x）的最大值．

故函数h（x）的最大值为h（e^m+1-e^m）=ln（e-1）-

e-2

e-1

≈0.123＜

，

即|

|=h（x）当x∈[e^m，e^m+1]时，有|

|≤

成立，故要证的结论成立．