问题
解答题
已知椭圆M、抛物线N的焦点均在x轴上的，且M的中心和M的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
（Ⅱ）已知定点A（1，
|
答案
（Ⅰ）设抛物线M：y2=2px（p≠0），则有
=2p（x≠0）y2 x
据此验证4个点知（3，-2
），（4，-4）在抛物线上，3
∴N的标准方程为y2=4x．…（2分）
设M：
+x2 a2
=1（a＞b＞0），把点（-2，0），（y2 b2
，2
）2 2
代入得：
，解得a2=4，b2=1
=14 a2
+2 a2
=11 2b2
∴M的标准方程为
+y2=1；（6分）x2 4
（Ⅱ）当直线BC垂直于x轴时，BC=2，则S△ABC=1
当直线BC不垂直于x轴时，设该直线方程为y=kx，
代入椭圆方程，消y得x2=4 4k2+1
不妨设B（
，2 4k2+1
），C（-2k 4k2+1
，-2 4k2+1
），2k 4k2+1
∴|BC|=
=(xB-xA)2+(yB-yA)2
（9分）4 1+k2 4k2+1
∵点A到直线BC的距离d=|k-
|1 2 1+k2
∴S△ABC=
|BC|×d=1 2
=|2k-1| 4k2+1
=4k2-4k+1 4k2+1
，（12分）1- 4k 4k2+1
令t=
，则4tk2-4k+t=0，4k 4k2+1
由△k=16-16t2≥0得-1≤t≤1
∴当
=-1时，面积取得最大值4k 4k2+1
，此时k=-2
．1 2
综上所述，当直线的方程为y=-
x时，△ABC的面积取得最大值1 2
（14分）2