问题 解答题
在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*
(1)证明:数列{an-n}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=
n
an-n
,数列{bn}的前n项和为Sn,求证:Sn+bn
16
9
答案

(1)∵数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*

an+1-(n+1)=4(an-n),n∈N*,a1-1=1,

∴数列{an-n}是首项为1,且公比为4的等比数列,

an-n=1×4n-1an=4n-1+n

(2)由(1)得bn=

n
an-n
=
n
4n-1

Sn=1+2×

1
4
+3×
1
42
+…+(n-1)×
1
4n-2
+n×
1
4n-1

1
4
Sn=1×
1
4
+2×
1
42
+…+(n-1)×
1
4n-1
+n×
1
4n

相减得

3
4
Sn=(1+
1
4
+
1
42
+…+
1
4n-1
)-n×
1
4n
=
4
3
(1-
1
4n
)-n×
1
4n

Sn=

16
9
(1-
1
4n
)-
n
4n-1

Sn+bn=

16
9
-
16
9
×
1
4n
-
n
4n-1
+
n
4n-1

=

16
9
+
1
4n-1
•(2n-
4
3
),

∵n≥1,∴2n-

4
3
>0,

Sn+bn

16
9

单项选择题
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