问题
解答题
在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*. (1)证明:数列{an-n}是等比数列,并求数列{an}的通项公式; (2)记bn=
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答案
(1)∵数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*,
∴an+1-(n+1)=4(an-n),n∈N*,a1-1=1,
∴数列{an-n}是首项为1,且公比为4的等比数列,
∴an-n=1×4n-1,an=4n-1+n.
(2)由(1)得bn=
=n an-n
,n 4n-1
∴Sn=1+2×
+3×1 4
+…+(n-1)×1 42
+n×1 4n-2
,1 4n-1
则
Sn=1×1 4
+2×1 4
+…+(n-1)×1 42
+n×1 4n-1
,1 4n
相减得
Sn=(1+3 4
+1 4
+…+1 42
)-n×1 4n-1
=1 4n
(1-4 3
)-n×1 4n
,1 4n
∴Sn=
(1-16 9
)-1 4n
,n 3×4n-1
∴Sn+bn=
-16 9
×16 9
-1 4n
+n 3×4n-1 n 4n-1
=
+16 9
•(2n-1 3×4n-1
),4 3
∵n≥1,∴2n-
>0,4 3
∴Sn+bn>
.16 9