问题
解答题
| 在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*． （1）证明：数列{an-n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式； （2）记bn=
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答案
（1）∵数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*，
∴an+1-(n+1)=4(an-n)，n∈N*，a1-1=1，
∴数列{an-n}是首项为1，且公比为4的等比数列，
∴an-n=1×4n-1，an=4n-1+n．
（2）由（1）得bn=
=n an-n
，n 4n-1
∴Sn=1+2×
+3×1 4
+…+(n-1)×1 42
+n×1 4n-2
，1 4n-1
则
Sn=1×1 4
+2×1 4
+…+(n-1)×1 42
+n×1 4n-1
，1 4n
相减得
Sn=(1+3 4
+1 4
+…+1 42
)-n×1 4n-1
=1 4n
(1-4 3
)-n×1 4n
，1 4n
∴Sn=
(1-16 9
)-1 4n
，n 3×4n-1
∴Sn+bn=
-16 9
×16 9
-1 4n
+n 3×4n-1 n 4n-1
=
+16 9
•(2n-1 3×4n-1
)，4 3
∵n≥1，∴2n-
＞0，4 3
∴Sn+bn＞
．16 9