已知抛物线C：y2=4x，动直线l：y=k（x+1）与抛物线C交于A，B两点，O

问题解答题

已知抛物线C：y²=4x，动直线l：y=k（x+1）与抛物线C交于A，B两点，O为原点．
（1）求证：

•

是定值；
（2）求满足

的点M的轨迹方程．

答案

由

y2=4x

y=k(x+1)

得k²x²+（2k²-4）x+k²=0．

由k≠0，且△＞0，得-1＜k＜1，且k≠0．

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

-2，x₁x₂=1．

（1）证明：

•

=x₁x₂+y₁y_{2
=x₁x₂+k²（x₁+1）（x₂+1）
=（k²+1）x₁x₂+k²（x₁+x₂）+k²
=k²+1+k²（
4
k2
-2）+k²=5，
∴
OA
•
OB
=5为常数．
（2）
OM
=
OA
+
OB
=（x₁+x₂，y₁+y₂）=（4
k2
-2，4
k）．
设M（x，y），则
x=4
k2
-2
y=4
k
消去k得y²=4x+8．
又∵x=
4
k2
-2＞2，故M的轨迹方程为y²=4x+8（x＞2）．}