（1）由题意知双曲线C₁的焦点在x轴上，设C₁的方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)

b a = 3 3 a2 a2+b2 (1+ 3 3 )

+

1+( 3 3 )2

•

a2

a2+b2

=

3

2

(1+

3

3

)

解得之：

a= 3 b=1

，

∴双曲线的半焦距c=2，椭圆C₂方程为：

x2

4

+y2=1…（4分）

（2）设点M（x，y）及点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

直线AB的方程为：x-2y-m=0，

联立方程组

x2 4 +y2=1 x=2y+m

消去x得8y2+4my+m2-4=0…（6分）

判断式△=16m²-32（m²-4）=16（8-m²）＞0

又m＞0∴0＜m＜2

2

y1y2=

(m2-4)

8

x1x2=(2y1+m)(2y2+m)

=4y₁y₂+2m（y₁+y₂）+m²

=

(m2-4)

2

+2m(-

m

2

)+m2=

(m2-4)

2

…（7分）

由

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

，可得

x=x1cosB+x2sinθ y=y1cosθ+y2sinθ

…（8分）

代入椭圆方程得4=x²+4y²=（x₁cosθ+x₂sinθ）²+4（y₁cosθ+y₂sinθ）²

=（x₁²+4y₁²）cos²θ+（x₂²+4y₂²）sin²θ+2sinθcosθ（x₁x₂+4y₁y₂）

=4（cos²θ+sin²θ）+sin2θ•（x₁x₂+4y₁y₂）

即得：sin2θ•（x₁x₂+4y₁y₂）=0…（10分）

又∵θ∈[0，2π]的任意性，知：

x1x2+4y1y2=

m2-4

2

+4×

m2-4

8

=m2-4=0

∵m∈(0，2

2

)

∴m=2，即满足条件的实数m的值为2   …（12分）