已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点K（-1，0）为直线l与抛物线

问题解答题

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，点K（-1，0）为直线l与抛物线C准线的交点．直线l与抛物线C相交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为D．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设

•

，求直线l的方程．

答案

（1）依题意知-

=-1，解得p=2，

所以抛物线C的方程为y²=4x．（4分）

（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则D（x₁，-y₁），且设直线l的方程为x=my-1（m≠0）．

将x=my-1代入y²=4x，并整理得y²-4my+4=0，

从而y₁+y₂=4m，y₁y₂=4．

所以x₁+x₂=（my₁-1）+（my₂-1）=4m²-2，

x₁x₂=（my₁-1）（my₂-1）=m²y₁y₂-m（y₁+y₂）+1=1．

因为

=（x₁-1，y₁），

=（x₂-1，y₂），

所以

•

=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+4=8-4m²，

所以8-4m²=

，解得m=±

，

所以直线l的方程为x=±

y-1，

即3x-4y+3=0或3x+4y+3=0．（14分）