已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C2：y2a2+x2b2=

问题解答题

已知抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C₂：

=1（a＞b＞0）的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x²+y²=1上．
（1）求抛物线C₁和椭圆C₂的标准方程；
（2）过点F的直线交抛物线C₁于A，B两不同点，交y轴于点N，已知

=λ1

，

=λ2

，则λ₁+λ₂是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由．

答案

（1）由抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的焦点F（

，0）在圆O：x²+y²=1上得：

∴p=2，

∴抛物线C₁：y²=4x（3分）

同理由椭圆C₂：

=1（a＞b＞0）的上、下焦点（0，c），（0，-c）

及左、右顶点（-b，0），（b，0）均在圆O：x²+y²=1上可解得：b=c=1，

∴a=

．

得椭圆C₂：x²+

=1．（6分）

（2）λ₁+λ₂是定值，且定值为-1．

设直线AB的方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则N（0，k）．

联立方程组

y2=4x

y=k(x-1)

，消去y得：k²x²-（2k²+4）+k²=0，

∴△=16k²+16＞0，且

x1+x2=

2k2+4

x1x2=1

，（9分）

由

=λ1

，

=λ2

得：λ₁（1-x₁）=x₁，λ₂（1-x₂）=x₂，

整理得：λ₁=

1-x1

，λ₂=

1-x2

，

λ₁+λ₂=

x1+x2-2x1x2

1-(x1+x2)+x1x2

2k2+4-2

2k2+4

=-1 （13分）