问题
解答题
设椭圆
（1）若直线AP与BP的斜率之积为-
（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞
|
答案
（1）设P（x0，y0），∴
+x02 a2
=1①y02 b2
∵椭圆
+x2 a2
=1(a＞b＞0)的左右顶点分别为A，B，∴A（-a，0），B（a，0）y2 b2
∴kAP=
，kBP=y0 x0+a y0 x0-a
∵直线AP与BP的斜率之积为-
，∴x02=a2-2y021 2
代入①并整理得(a2-2b2)y02=0
∵y0≠0，∴a2=2b2
∴e2=
=a2-b2 a2 1 2
∴e=2 2
∴椭圆的离心率为
；2 2
（2）证明：依题意，直线OP的方程为y=kx，设P（x0，kx0），∴
+x02 a2
=1k2x02 b2
∵a＞b＞0，kx0≠0，∴
+x02 a2
＜1k2x02 a2
∴(1+k2)x02＜a2②
∵|AP|=|OA|，A（-a，0），
∴(x0+a)2+k2x02=a2
∴(1+k2)x02+2ax0=0
∴x0=-2a 1+k2
代入②得(1+k2)(
)2＜a2-2a 1+k2
∴k2＞3
∴直线OP的斜率k满足|k|＞
．3