已知两定点E(-
(I)求曲线C的方程; (II)若线段AB是曲线C的一条动弦,且|AB|=2,求坐标原点O到动弦AB距离的最大值. |
(Ⅰ)设动点P(x0,y0),则
=(x0+EP
,y0),2
=(x0-FP
,y0).2
∵动点P满足
•EP
=0,∴FP
-2+x 20
=0,化为y 20
+x 20
=2y 20
即动点P的轨迹方程为
+x 20
=2.y 20
设动点M(x,y),则Q(x,0),如图所示,
∵
=(x-x0,y-y0),PM
=(0,-y),MQ
=(PM
-1)2
,MQ
∴
,化为x-x0=0 y-y0=-y(
-1)2
,x0=x y0=
y2
代入动点P的轨迹方程得x2+2y2=2,即曲线C的方程为
+y2=1.x2 2
(Ⅱ)当直线AB的斜率不存在时,∵|AB|=2=短轴长,∴直线AB经过原点,此时原点到直线的距离=0;
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+t,
联立
,消去y得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0,y=kx+t x2+2y2=2
∵直线与椭圆有两个交点,∴△=16k2t2-4(1+2k2)(2t2-2)>0,化为t2<1+2k2.(*)
∴x1+x2=-
,x1x2=4kt 1+2k2
,2t2-2 1+2k2
∴|AB|=
,(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
∴22=(1+k2)[(
)2-4×-4kt 1+2k2
],2t2-2 1+2k2
化为t2=
.(**)1+2k2 2(1+k2)
原点O到直线AB的距离d=
,∴d2=|t| 1+k2
,t2 1+k2
把(**)代入上式得d2=
=1+2k2 2(1+k2)2
≤2 (1+2k2)+
+21 1+2k2
=2 2+2
,当且仅当1+2k2=1 2
,即k2=0,k=0时取等号.1 1+2k2
此时t2=
,满足(*)式.1 2
∴d2≤
,∴d≤1 2
,即原点O到直线AB的最大距离d=2 2
.2 2
综上可知:坐标原点O到动弦AB距离的最大值是
.2 2