问题
解答题
| 设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=（1+λ）-λan，其中λ≠-1，0； （I）证明：数列{an}是等比数列． （II）设数列{an}的公比q=f（λ），数列{bn}满足b1=
（III）记λ=1，记Cn=an(
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答案
（I）由Sn=（1+λ）-λan得，Sn-1=（1+λ）-λan-1（n≥2），
两式相减得：an=-λan+λan-1，∴
=an an-1
（n≥2），λ 1+λ
∵λ≠-1，0，∴数列{an}是等比数列．
（II）由（I）知，f(λ)=
，λ 1+λ
∵bn=f（bn-1）（n∈N*），∴bn=
，即bn 1+bn-1
=1 bn
+1，1 bn-1
∴{
}是首项为1 bn
=2，公差为1的等差数列；1 b1
∴
=2+(n-1)=n+1，1 bn
则bn=
，1 n+1
（III）λ=1时，q=
=λ 1+λ
，且a1=1，∴an=(1 2
)n-1，1 2
∴Cn=an(
-1)=(1 bn
)n-1n，1 2
∴Tn=1+2(
)+3(1 2
)2+…+n(1 2
)n-1，①1 2
Tn=(1 2
)+2(1 2
)2+3(1 2
)3+…+n(1 2
)n②1 2
②-①得：
Tn=1+(1 2
)+(1 2
)2+(1 2
)3+…+(1 2
)n-1-n(1 2
)n，1 2
∴
Tn=1+(1 2
)+(1 2
)2+(1 2
)3+…+(1 2
)n-1-n(1 2
)n=2(1-(1 2
)n)-n(1 2
)n，1 2
∴Tn=4(1-(
)n)-2n(1 2
)n．1 2