问题
解答题
已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0），f（2）=0，且方程f（x）=x有等根．
（Ⅰ）求f（x）的解析式
（Ⅱ）是否存在常数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别是[m，n]和[2m，2n]？如存在，求出m，n的值；如不存在，说明理由．
答案
（Ⅰ）由题设，方程f （x）=x有等根，即ax2+（b-1）x=0有等根，
∴△=0⇒b=1．（2分）
又f （2）=0，
∴4a+2b=0，∴a=-
．（4分）1 2
故f （x）=-
x2+x．（5分）1 2
（Ⅱ）∵f （x）=-
x2+x=-1 2
（x-1）2+1 2
≤1 2
，1 2
∴2n≤
，即 n≤1 2
．（8分）1 4
而当n≤
时，f （x）在[m，n]上为增函数，1 4
设满足条件的m，n存在，则
即f(m)=2m f(n)=2n
，-
m2+m=2m1 4 -
n2+n=2n.1 4
又m＜n≤
，由上可解得 m=-4，n=0．1 4
即符合条件的m，n存在，其值为m=-4，n=0．（13分）