问题
解答题
已知曲线C：xy=1，过C上一点An（xn，yn）作一斜率为kn=-
（1）求xn与xn+1的关系式； （2）求证：{
（3）求证：（-1）x1+（-1）2x2+（-1）3x3+…+（-1）nxn＜1（n∈N，n≥1）． |
答案
（1）过C：y=
上一点An（xn，yn）作斜率为kn的直线交C于另一点An+1，1 x
则kn=
=yn+1-yn xn+1-xn
=-
-1 xn+1 1 xn xn+1-xn
=-1 xn+1•xn
，1 xn+2
于是有：xnxn+1=xn+2
即：xn+1=1+
．2 xn
（2）记an=
+1 xn-2
，1 3
则an+1=
+1 xn+1-2
=1 3
+1
-2xn+2 xn
=-2(1 3
+1 xn-2
)=-2an，1 3
因为x1=
， 而a1=11 7
+1 x1-2
=-2≠0，1 3
因此数列{
+1 xn-2
}是等比数列．1 3
（3）由（2）知：an=(-2)n ， 则xn=2+
，(-1)nxn=(-1)n•2+1 (-2)n- 1 3
．1 2n-(-1)n• 1 3
①当n为偶数时有：（-1）n-1xn-1+（-1）nxn=
=
+1 2n-1+ 1 3
=1 2n- 1 3
＜2n-1+2n (2n-1+
)(2n-1 3
)1 3
＜2n-1+2n 2n-1•2n
+1 2n-1
，1 2n
于是在n为偶数时有：(-1)x1+(-1)2x2++(-1)nxn＜
+1 2
+1 22
+1 23
++1 24
＜1．1 2n
1在n为奇数时，前n-1项为偶数项，
于是有：（-1）x1+（-1）2x2++（-1）n-1xn-1+（-1）nxn＜1+(-1)nxn=1-xn=1-(2+
)=-1+1 (-2)n- 1 3
＜1．1 2n+ 1 3
综合①②可知原不等式得证．