问题 解答题
已知双曲线C1x2-
y2
4
=1

(1)求与双曲线C1有相同焦点,且过点P(4,
3
)的双曲线C2的标准方程;
(2)直线l:y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点.当
OA
OB
=3
时,求实数m的值.
答案

(1)∵双曲线C1x2-

y2
4
=1,

∴焦点坐标为(

5
,0),(-
5
,0)

设双曲线C2的标准方程为

x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0),

∵双曲线C2与双曲线C1有相同焦点,且过点P(4,

3

a2+b2=5
16
a2
-
3
b2
=1
,解得
a=2
b=1

∴双曲线C2的标准方程为

x2
4
-y2=1

(2)双曲线C1的两条渐近线为y=2x,y=-2x

y=2x
y=x+m
,可得x=m,y=2m,∴A(m,2m)

y=-2x
y=x+m
,可得x=-
1
3
m,y=
2
3
m,∴B(-
1
3
m,
2
3
m)

OA
OB
=-
1
3
m2+
4
3
m2=m2

OA
OB
=3

∴m2=3

m=±

3

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