问题
解答题
已知双曲线C1:x2-
(1)求与双曲线C1有相同焦点,且过点P(4,
(2)直线l:y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点.当
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答案
(1)∵双曲线C1:x2-
=1,y2 4
∴焦点坐标为(
,0),(-5
,0)5
设双曲线C2的标准方程为
-x2 a2
=1(a>0,b>0),y2 b2
∵双曲线C2与双曲线C1有相同焦点,且过点P(4,
)3
∴
,解得a2+b2=5
-16 a2
=13 b2 a=2 b=1
∴双曲线C2的标准方程为
-y2=1x2 4
(2)双曲线C1的两条渐近线为y=2x,y=-2x
由
,可得x=m,y=2m,∴A(m,2m)y=2x y=x+m
由
,可得x=-y=-2x y=x+m
m,y=1 3
m,∴B(-2 3
m,1 3
m)2 3
∴
•OA
=-OB
m2+1 3
m2=m24 3
∵
•OA
=3OB
∴m2=3
∴m=±3