在数列{an}中，a1=2，an+l=an+cn（n∈N*，常数c≠0），且a1

问题解答题

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+l=a_n+cn （n∈N*，常数c≠0），且a₁，a₂，a₃成等比数列．

（I）求c的值；

（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式．

答案

（Ⅰ）由题知，a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+3c，（2分）

因为a₁，a₂，a₃成等比数列，所以（2+c）²=2（2+3c），（4分）

解得c=0或c=2，又c≠0，故c=2．（6分）

（Ⅱ）当n≥2时，由a_n+1=a_n+cn

得a₂-a₁=c，

a₃-a₂=2c，

…

a_n-a_n-1=（n-1）c，

以上各式相加，得an-a1=[1+2+…+(n-1)]c=

n(n-1)

c，（9分）

又a₁=2，c=2，故an=n2-n+2(n≥2)，（11分）

当n=1时上式也成立，（12分）

所以数列{a_n}的通项公式为an=n2-n+2．（n∈N^*）．（13分）