问题
解答题
已知两点A（-2，0），B（2，0），直线AM、BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为-
（Ⅰ）求点M的轨迹方程； （Ⅱ）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，直线PE、PF与圆（x-1）2+y2=r2（0＜r＜
|
答案
（Ⅰ）设点M（x，y），KAMKBM=-
，∴3 4
•y x+2
=-y x-2
．3 4
整理得点M所在的曲线C的方程：
+x2 4
=1（x≠±2）．y2 3
（Ⅱ）把x=1代入曲线C的方程，可得
+1 4
=1，∵y＞0，解得y=y2 3
，∴点P（1，3 2
）．3 2 
∵圆（x-1）2+y2=r2的圆心为（1，0），
∴直线PE与直线PF的斜率互为相反数．
设直线PE的方程为y=k(x-1)+
，3 2
联立
，化为y=k(x-1)+ 3 2
+x2 4
=1y2 3
（4k2+3）x2+（12k-8k2）x+（4k2-12k-3）=0，
由于x=1是方程的一个解，
∴方程的另一解为xQ=
．4k2-12k-3 4k2+3
同理xR=
．4k2+12k-3 4k2+3
故直线RQ的斜率为kRQ=
=yR-yQ xR-xQ
=-k(xR-1)+
-k(xQ-1)-3 2 3 2 xR-xQ
=-k(
-2)8k2-6 4k2+3 24k 4k2+3
．1 2
把直线RQ的方程y=
x+t代入椭圆方程，消去y整理得x2+tx+t2-3=0．1 2
∴|RQ|=
=[1+(
)2][t2-4(t2-3)]1 2 15 2
．4-t2
原点O到直线RQ的距离为d=
．|2t| 5
∴S△ORQ=
•1 2
•15 2
•4-t2
=|2t| 5 3 2
≤t2(4-t2)
•3 2
=t2+(4-t2) 2
．当且仅当t=±3
时取等号．2
∴△OQR的面积的最大值为
．3